TEST VE MADDE İSTATİSTİKÎ
Testin geçerlik ve güvenirliğini arttırmak için yapılan istatistiksel çalışmalara denir.
Madde analizi, belli niteliklere sahip olması istenen bir teste alınacak maddeleri seçme sorunuyla ilgilidir.
Bir testin uygulama sonuçlarına bakılarak test hakkında bazı yargılara varılır.
1. Puanların dağılımı (a) Ranj – dizi genişliği b) Standart kayma c) dağılımın çarpıklık ölçüsü)
2. Grup için testin ortalama puanı ya da ortalama güçlüğü
3. Boş bırakılan ve erişilemeyen madde sayısı
1. PUANLARIN DAĞILIMI
a) Ranj: En büyük puan ile en küçük puan arasındaki farktır. Testin uygulandığı grup ve amaç için uygunluğunu belirler.
Amaç başarı düzeyleri bakımından öğrencileri ayırt etmekse, dağılımın uç puanları arasındaki fark büyük olmalıdır.
Testin ayırt ediciliği ile güvenirliği birbiriyle sıkı sıkıya ilgilidir. Testin bu iki özelliği de, testten elde edilen puanların dağılımına bağlıdır.
Dağılımın uç puanları arasındaki fark küçükse (puanların tümü yukarıda, ortada ya da altta toplanmışsa) yapılacak yorum, testin güvenirliğinin ve ayırt etme gücünün düşük olduğudur. Puanlar dağılımın üst kısmında toplanmışsa ya test çok kolaydır ya da öğrenciler testin ölçtüğü konuyu iyi öğrenmişlerdir. Puanlar dağılımın alt ucunda toplanmışsa, bu da, ya öğretimin yetersizliğinden ya da testin öğrencilere güç gelmesinden kaynaklanır.
b) Standart kayma: Standart kayma, grupların homojenliğini ve puanların aritmeik ortalamadan farklılığını betimleyen bir istatistiktir. Bir testten elde edilen puanların standart kayması büyüdükçe o testin güvenirliği artar. Yani, farklı başarı düzeylerindeki öğrencileri birbirinden ayırmaya yönelen bir testin standart kayması da büyük olmalıdır.
c) Dağılımın çarpıklık ölçüsü: Bir testten elde edilen puanların dağılımı normal dağılıma yaklaştıkça iyidir diyebilinir. Ancak istenen puan dağılımı, testin kullanılış maksadına bağlıdır.
Çarpıklık değeri =
Bu formülün uygulanması sonunda elde edilen değerlere göre testin güçlüğüne ilişkin olarak şunlar söylenebilir.
Çarpıklık Grup için testin güçlüğü
Negatif Kolay
Pozitif Zor
0.10’dan büyük Hafif zor
0,10 – 0,25 arası Orta güçlükte
0,25’ten büyük Çok zor
Çarpıklık dağılım grafikleri
A) Sola çarpık dağılım: Aritmetik ortalamanın ortancadan, ortancanın mod dan küçük olduğu dağılım sola çarpık, negatif kayışlı dağılımdır. Grubun başarısı yüksektir. Test kolaydır, öğretim yeterlidir gibi yorumlar yapılır.
Mod > Medyan > Aritmetik ortalama = Sola çarpık, kolay, negatif, öğrenciler başarılı
B) Sağa çarpık dağılım: Aritmetik ortalamanın ortancadan, ortancanın mod dan büyük olduğu dağılım sağa çarpık, pozitif kayışlı dağılımdır. Grubun başarısı düşüktür. Test zordur, öğretim yetersizdir, öğrenciler hedef davranışları kazanmamıştır yorumları yapılır.
Mod < Medyan < Aritmetik ortalama = Sağa çarpık, pozitif, kolay, öğrenciler başarılı
C) Normal dağılım (Simetrik): Aritmetik ortalama, ortanca ve mod un birbirine eşit olduğu, (mod un tek olduğu) dağılımdır. Puanların yarısı eksenin sağında, yarısı solundadır.
Mod = Medyan = Aritmetik ortalama : Normal dağılım, simetrik, orta güçlükte
2. TESTİN GÜÇLÜK DERECESİ
Bir testin güçlük derecesi o testin kullanılış maksadına bağlıdır. Çok sayıda aday içinden az sayıda seçim yapılacaksa güçlük düzeyi değişir. Biçimlendirme – yetiştirmeye yönelik testlerde güçlük düzeyi sorun değildir. Eğitim öğretimde ise daha çok orta güçlükte sorular tercih edilmelidir.
Testin ortalama güçlüğü ; test ortalamasını testten alınabilecek en yüksek puana (K) bölmekle bulunur.
Örnek: Ortalama puanın 65 olduğu 110 soruluk bir sınavın ortalama güçlüğü nedir?
= 0,59’dur.
● Testin ortalama güçlüğü 0 ile +1 arasında değişir. +1’e yaklaştıkça test kolaylaşır, 0’a yaklaştıkça zorlaşır.
● Testin güçlüğü 0,50’den küçükse, test öğrencilere güç gelmiştir veya öğretim yetersizdir. Zayıf öğrenciler çoğunluktadır.
● Testin güçlüğü 0,50’den büyükse, öğrencilerinin çoğunun öğrenilecek şeyleri öğrendikleri ya da testin öğrencilere kolay geldiği şeklinde yorumlanır.
3. BOŞ BIRAKILAN VE ERİŞİLEMEYEN MADDE
Testte çok sayıda madde birçok öğrenci tarafından boş bırakıldıysa
a) Yönerge cevaplamanın nasıl yapılacağını açık seçik ifade etmemektedir
b) Madde kökü anlaşılır değildir. Soru belirsizdir.
c) Şıklar arasında kesin ve tek doğru cevap yoktur yorumları yapılabilir.
Düzeltme formülünün kullanılacağının belirtilmesi de soruları boş bırakmaya sebep olabilir.
● Testte, öğrencilerden bir kısmı tarafından erişilememiş madde sayısı çoksa, testi cevaplamak için verilen sürenin yetmediği yorumu yapılır.
● Bir teste iyi diyebilmek için bu kurallar yeterli değildir. Testteki her bir maddenin yeterlik yönünden ayrı ayrı analiz edilmesi gerekir.
MADDE ANALİZİ
Objektif test maddelerine verilen cevapların analizi, test geliştirmede ve testi daha iyi hale getirmede etkilidir. Test maddelerinin işe yarayıp yaramadığını, yaramıyorsa bunun nedenini anlamak ve gerekli düzeltmeleri yapmak için cevapları analiz etmek gerekir.
UYARI: Madde analiziyle üç soruya cevap aranır.
1. Maddenin bağıl güçlük derecesi nedir?
2. Madde, iyi öğrenciyle zayıf öğrenciyi birbirinden ayırt ediyor mu?
3. Maddenin çeldiricileri iyi çalışılmış mı? Çeldiriciler yeterli bilgiye sahip olmayan zayıf öğrencileri kendine çekmiş mi?
● Madde analizi sürecinde, iyi öğrencilerin yüksek, zayıf öğrencilerin ise düşük not aldığı varsayımına dayanılarak karşılaştırma grupları belirlenir. Bu belirlemede dış ölçüt (Önceki notlar veya sınav sonuçları) veya iç ölçüt (Grubun alınan notlara göre ikiye bölünmesi) kullanılır.
● Karşılaştırmalı gruplarda bulunacak cevap kâğıdı sayısı, toplam kâğıt sayısının %27’si olmalıdır.
● Toplam puanın ölçüt olarak kullanıldığı (iç ölçüt) madde analizinde
— Bütün cevap kâğıtları büyükten küçüğe doğru sıralanır.
— Toplam cevap kâğıtlarının %27’sinin kaç kâğıt olduğu bulunur.
— Kâğıtların üstünden ve altından bulunan sayı kadar kâğıt ayrılır ve gruplar oluşturulur. Ortada kalan %46’lık kısım dikkate alınmaz.
— Alt ve üst gruplardaki her bir maddeye verilmiş cevaplar belirlenir ve tablo üzerine kaydedilir.
MADDENİN GÜÇLÜK İNDEKSİ
Bir test maddesinin güçlüğü (Pj), testin uygulandığı grupta, o maddeye doğru cevap veren öğrencilerin yüzdesidir. Yani, maddeye doğru cevap verenler sayısının (Na) gruptaki toplam öğrenci sayısına (N) oranıdır.
Na= doğru cevaplayanların sayısı N= tüm cevaplayıcıların sayısı
UYARI Eğer zamanın yetmemesinden dolayı maddeye erişemeyen öğrenciler varsa, hesaplama toplam öğrenci sayısından erişemeyen öğrenci sayısı çıkarılarak yapılmalıdır.
Şayet testte maddeye erişemeyen (zaman yetmediği için) öğrenciler varsa toplam madde sayısından erişilemeyen soru sayısı çıkarılır.
Nd
Pj= ---------
Nt - Ne
UYARI Şans başarısı düzeltilmesi yapılacaksa;
Nd - [Ny / a - 1] Pj= Madde güçlüğü,
Pj = -------------------------- Nd = Doğru cevapların toplamı,
Nt - Ne Nt = Testteki toplam madde sayısı,
Ne = Erişilemeyen madde sayısı,
Ny = Yanlış cevapların toplamı,
a = Seçenek sayısı,
Soru A B C D*
Üst grup 20 10 11 59
Alt grup 11 38 39 12
Örnek: ● Maddenin güçlük indeksi kaçtır?
= = 0,355
UYARI: 0,00 ile 1,00 arasında değişen değerler alır. Sayı 1’e yaklaştıkça soru kolay, 0’a yaklaştıkça zordur. Soruların genellikle 0,50 civarında bir zorluk derecesine sahip olması istenir. Soruların orta güçlükte olması güvenirliği arttırır. Testteki bir soruyu katılanların en az yarısının doğru yapması beklenir.
0,00 – 0,29 arası Zor
0,30 – 0,49 arası Orta güçlükte
0,50 – 0,69 arası Kolay
0,70 – 1,00 arası Çok kolay maddelerdir.
MADDENİN AYIRT ETME İNDEKSİ
Testteki bir soruya alt ve üst grupta doğru cevap veren öğrencilerin arasındaki fark ne kadar artarsa sorunun ayıt ediciliği de o kadar artar. Ayırt ediciliği yüksek maddeler testin güvenirliğini ve geçerliğini arttırır.
Test puanı düşük olanların maddeyi yanlış, yüksek olanların ise doğru cevaplandırmaları beklenir.
Ayırt etme indeksi -1 ile +1 arasında değişen değerler alır. Üst gruptaki tüm öğrencilerin doğru, alt gruptakilerin ise yanlış işaretlediği bir maddenin ayıt edicilik indeksi +1’dir. Her iki grupta doğru cevaplayanların sayısı eşitse indeks 0’dır. Alt gruptakilerin üst gruptakilere göre doğru cevap sayısı daha fazlaysa ayıt edicilik indeksi negatif değer alır.
Maddenin ayıt edicilik indeksi Değerlendirme
0,40 ve daha büyük Çok iyi bir madde
0,30 – 0,39 Oldukça iyi bir madde ama çalışılabilir
0,20 – 0,29 Bu tür maddeler geliştirilmeye muhtaçtır
0,19 ve daha küçük Çok zayıf bir maddedir. Geliştirilemiyorsa testten
kesinlikle çıkarılmalıdır.
rjx = ayırıcılık indeksi
n(d,ü) = üst gruptaki doğru cevaplayanlar
n(d,a) = alt gruptaki doğru cevaplayanlar
n = üst veya alt gruptan herhangi birinin öğrenci sayısı
Soru A B C D*
Üst grup 20 10 11 59
Alt grup 11 38 39 12
● Maddenin ayırt edicilik indeksi kaçtır?
= = = 0,47
Madde varyansı
Maddeye doğru cevap verenlerin oranıyla, yanlış cevap verenlerin oranının çarpımıyla bulunur. İyi bir testte madde varyansının ortalama 0,25 civarında olması istenir.
Tüm öğrencilerin doğru ya da tüm öğrencilerin yanlış cevapladığı maddelerin varyansı 0’dır. Madde varyansının küçük olması verilen cevapların arasındaki değişimin az olması anlamına gelir.
ÖR: Doğru cevaplayanların oranı 0,50 olan bir maddenin varyansı nedir?
1 - 0,50 = 0,50
0,50 * 0,50 = 0,25
Test Puanları Üzerinde İstatistiksel İşlemler
Test puanları üzerinde yapılan istatistiksel işlemler ayrıntılı bir matematik bilgisi gerektirmez. Ortaokul düzeyindeki bir bilgi yeterlidir.
● Bir testten herhangi bir anlam çıkarmak için, öncelikle kâğıtlar küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe sıralanır.
● Bu sıralama bize öğrencinin sınıf içindeki başarı sırasını ve en büyük puanla en küçük puan arasındaki farkı belirlememizi sağlar. (Ranj)
● Puanlar hakkında daha iyi fikir edinebilmek için frekans dağılımı hazırlanır.
● Frekans dağılımı, test puanlarının nasıl bir dağılım gösterdiğini ve her puanın kaç kez tekrarlandığını gösterir.
● Tüm puanlar büyükten küçüğe sıralanır ve her puanı alan öğrenci sayısı karşısına yazılır.
● Puan çeşitleri arttıkça tablo uzayacağı ve uzun bir tablodan anlam çıkarmak güç olacağı için puanlar gruplama yoluna gidilir.
● Grup aralığı belirlenirken, önce puanların kaç grupta toplanacağına karar verilir. Daha sonra ranj, belirlenen grup sayısına bölünür.
Örnek: Puanlar 91 ile 20 arasında değişiyorsa ve 15 grupta (Daha çok tek sayı olmalıdır) toplanacaksa grup aralığı ne olmalıdır?
yani 5 aralık olmalıdır.
● Grup aralıklarının gerçek noktası: Grup aralıklarının alt sınırının 0,5 altı ve üst sınırının 0,5 üstü gerçek grup aralığıdır.
● Grup aralığının orta noktası: Puan aralığının her iki puanı toplanarak ikiye bölünür. Çıkan sayı aralığın orta noktasıdır.
● Yığılmalı frekans: Frekans sıralamasının alttan üste doğru toplanması sonucu bulunur.
ÖRNEK TABLO
Puan Çetele Frekans Gerçek grup aralığı Orta değer Yığılmalı frekans
90 – 94 / 1 89,5 – 94,5 92 50
85 – 89 / 1 84,5 – 89,5 87 49
80 – 84 /// 3 79,5 – 84,5 82 48
75 – 79 // 2 74,5 – 79,5 77 45
70 – 74 /// // 5 69,5 – 74,5 72 43
65 – 69 /// / 4 64,5 – 69,5 67 38
60 – 64 /// // 5 59,5 – 64,5 62 34
55 – 59 /// /// / 7 54,5 – 59,5 57 29
50 – 54 /// / 4 49,5 – 54,5 52 22
45 – 49 /// // 5 44,5 – 49,5 47 18
40 – 44 /// / 4 39,5 – 44,5 42 13
35 – 39 /// 3 34,5 – 39,5 37 9
30 – 34 /// 3 29,5 – 34,5 32 6
25 – 29 // 2 24,5 – 29,5 27 3
20 – 24 / 1 19,5 – 24,5 22 1
Test puanlarının grafikle gösterilmesi
Test puanlarının daha anlaşılır ve daha kısaltılmış biçimde sunma yollarından birisi de grafikle göstermedir. Daha önceden frekans tablosu çıkarıldıysa, bu tablo hemen grafik haline çevrilebilir. Üç grafik türü kullanılır.
1. Frekans poligonu ya da çizgi grafiği
2. Histogram ya da sütun grafiği
3. Yığılmalı frekans grafiği
Bu grafiklerden hangisinin kullanılacağı kullanma amacına göre değişir. Eğer iki ayrı puan takımı aynı grafikte göstermek istenirse frekans poligonu kullanılmalıdır. Ancak puanlar kolayca görülebilecek biçimde sunulmak istenirse histogram tercih edilir. Bunun dışında bir üstünlükleri söz konusu değildir.
1. Frekans poligonu
Yatay çizgiye, her bir grup aralığının orta noktası olan (Orta değer) puanlar yazılır.
2. Histogram (Sütun grafiği)
Her puan aralığına isabet eden frekansların sütunlar halindeki alanlarla gösterilmiş biçimidir. Yatay çizgiye puan aralıklarının alt sınırını belirten değerler yazılır.
3. Yığılmalı frekans grafiği
Diğer grafik türlerine göre daha az kullanılmaktadır. Belli bir değerin altında ya da üstünde kalan frekans veya yüzde miktarını kolayca okuyabilme olanağı verdiği için tercih edilir.
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ
Sonuçların genel olarak hangi puan etrafında toplandığı hakkında bilgi verir.
Tepe değer (Mod), Ortanca (Medyan) ve Aritmetik ortalama kullanılan merkezi eğilim ölçüleridir.
1. Aritmetik ortalama
Ölçümlerin toplanarak öğrenci sayısına bölünmesi sonucu elde edilen değerdir.
Aritmetik ortalama hesaplanırken tüm puanlar kullanıldığı için merkezi eğilim ölçüleri içinde en çok tercih edilen ve en doğru cevabı verendir.
Bir testin ortalaması, o testten alınması mümkün olan en yüksek puanın en az yarısına eşit olmalıdır.
Örnek: Sınıftaki 10 öğrencinin aldığı notlar verilmiştir. Buna göre sınıfın aritmetik ortalaması nedir?
9 – 8 – 8 – 8 – 7 - 5 - 4 - 4 - 3 – 2 = 58 / 10
= 5,8’dir.
Gruplandırılmış verilerde aritmetik ortalama bulma
Puan Frekans Yığılmalı frekans Yığılmalı puanlar
90 3 20 270
85 4 17 340
70 6 13 420
65 5 7 325
50 2 2 100
1455
Yanda verilmiş olan tab- loda sınıfın puanlarının aritmetik ortalaması ne- dir?
=72,75
Ağırlıklı ortalama bulma
Ders Kredi Not Ağırlıklı kredi (Puan x Kredi)
Türkçe 4 3 12
Matematik 5 4 20
Tarih 3 3 9
Psikoloji 2 4 8
Geometri 3 2 6
Müzik 2 5 10
İngilizce 4 3 8
Toplam 23 24 73
Yandaki tabloda bir öğ-rencinin derslere göre puanları verilmiştir. Bu öğrencinin ağırlıklı orta-laması nedir?
2. Mod (Tepe değer)
Bir puan dağılımında en çok tekrar eden (frekansı en çok olan) puan ya da ölçüme “tepe değer (mod)” denir.
Gruplanmış puanlarda mod, frekansı en çok olan aralığın orta noktasıdır. Bazı dağılımlarda birden çok mod olabilir. Ancak mod, puan takımı hakkında çok güvenilir bilgi vermez.
Aynı sayıda frekanslar bir puan dağılımında ardı ardına geliyorsa ikisinin ortalaması alınır. Ancak araya başka değerler giriyorsa dağılım birden fazla modlu olarak değerlendirilir.
ÖR: 1 – 3 – 3 – 3 – 5 – 5 – 5 – 6 – 8 – 9 Mod = 3 + 5 / 2 = 4
ÖR: 1 – 3 – 3 – 3 – 4 – 5 – 5 – 5 – 6 – 8 Mod = 3 ve 5 (Çift modlu dağılım)
Bir puan dağılımında tüm puanların frekansları aynıysa mod yoktur.
ÖR: 1 -1 -1 – 3 – 3 – 3 – 7 – 7 – 7 – 8 – 8 – 8 Mod yoktur.
3. Ortanca (Medyan)
Bir puan dizisini tam ikiye bölen noktaya (% 50’nci frekansa) rastlayan puandır. Eldeki puanların yarısı ortancanın üstünde yarısı altında kalır.
Gruplanmamış dağılımlarda ortancanın bulunması için, ilk olarak puanlar büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe doğru sıralanır. Daha sonra bu puanların yarısı üstte yarısı altta kalacak şekilde ikiye bölen nokta bulunur.
Eldeki puan sayısı çiftse, dizinin tam ortasına düşen iki puanın ortalaması kabaca ortancayı verir. Puan sayısı çift olan gruplanmış dağılımın ortancasını bulmak için şu formül kullanılır. Ortanca
Xa = Ortancanın büyük olduğu ölçümün üst sınırı
Xb = Ortancanın küçük olduğu ölçümün alt sınırı
Bir dizinin ortancasını bulabilmek için 
formülü kullanılır.
ÖR: 13 – 15 – 17 – 18 – 20 – 24 – 26 – 27 – 28 – 29
Ortanca = 22
● Ortalama ya da ortancanın, mutlaka seride bulunan bir puan olması zorunluluğu yoktur.
● Ortanca dağılımın iki ucundaki dağılımdan kopmuş puanlardan etkilenmez.
● Hesaplanması kolaydır ancak diziye herhangi bir puan eklenmesi ortancayı hemen değiştirir.
● Birbirinden aşırı derecede kopmuş puanların bulunduğu durumlarda, merkezi eğilimin belirlenmesinde ortancanın kullanılması daha iyidir.
DEĞİŞİRLİK ÖLÇÜLERİ (Merkezi Değişim Ölçüleri)
Puanların yığılma gösterdikleri noktadan ne kadar uzakta olduğunu, nasıl bir dağılım gösterdiklerini belirten istatistiklerdir.
Merkezi eğilim ölçüleri, üzerinde ölçme yapılan grubu tanımamıza yardım eder. Ancak tam anlamıyla grubu tanımak mümkün değildir. Bu ölçülere ek olarak puanların değişirlik ölçülerinin de bilinmesine gerek vardır. Ranj, çeyrek sapma ve standart sapma başlıca değişirlik ölçüleridir.
ÖR: 1. grup: 5 – 6 – 6 – 6 – 7 Aritmetik ortalama aynıdır. Bu gibi durumlarda
2. grup: 2 – 3 – 6 – 9 – 10 dağılım ölçüleri yetersiz kalır. 1. grubun homojen
olduğu ranj ile belirlenir.
1. Dizi genişliği (Ranj)
Bir dağılımdaki puanların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır.
Çok çabuk ve kolay hesaplanan bir değişirlik ölçüsüdür. Ancak iki puana dayanılarak belirlendiği için çok istikrarsız bir ölçüdür. Bir dağılım hakkında hemen fikir edinilmek istendiğinde kullanılır. Ranj’ın geniş olması demek grubun heterojen (Farklı) yapıya sahip olması demektir.
2. Çeyrek kayma
Üçüncü çeyrekle (Q3) birinci çeyrek (Q1) arasındaki genişliğin yarısıdır. Q ile gösterilir. Önceden Q1 ve Q3 hesaplanmışsa, formülü kullanılır.
Ranj gibi dağılımın iki değeri üzerinde temellenir ancak daha kararlıdır.
Bir dizi ölçümün merkezi eğilim ölçüsü olarak ortanca kullanıldığında, değişirlik ölçüsü olarak ta çeyrek kayma kullanılmalıdır. Çünkü bu iki ölçüde, ölçümlerin sıralarına göre belirlenir ve uçlardaki puanlardan etkilenmez.
3. Standart kayma (Standart sapma) (S)
Standart kayma; bir dizideki her bir puanın, ortalamadan olan farklarının karelerinin ortalamasının kareköküne eşittir. Varyansın kareköküdür.
Bireyin ya da grubun aritmetik ortalamaya olan farkıdır.
Standart kayma dizideki tüm puanlar üzerine temellendiğinden ranj’a göre daha güvenilir bir ölçüdür.
Güvenirlik katsayısının, ölçmenin standart hatasının ve birçok puanın (Z ve T puanı gibi) hesaplanması için temeldir.
Merkezi eğilim ölçüsü olarak aritmetik ortalama kullanıldığında, değişirlik ölçüsü olarak ta standart sapma kullanılmalıdır.
● Dağılımda standart sapma küçük ise, öğrencilerin öğrenme düzeyi birbirine yakın ya da grup homojen (Öğrenciler arasındaki farklılaşma az) yorumu yapılır.
● Standart sapma büyük ise; öğrencilerin öğrenme düzeyi birbirine uzak ya da grup heterojen (Öğrenciler arasında farklılaşma fazla) yorumu yapılır.
● Bir dizi ölçümün gösterdiği en güvenilir ölçü standart kaymadır.
● İstatistikte en sık kullanılan ölçüdür. Hesaplanmasında matematiksel işlemler kullanıldığı için sonuçlar oldukça geçerlidir.
● Hesaplanmasında dizideki tüm puanlar dikkate alınır.
● Standart sapma, grupların homojenliğini veya puanların aritmetik ortalamadan farklılığını ortaya koyan bir işlemdir.
Dağılımda aritmetik ortalama 70 standart sapma 5 olduğunda dağılımın doğrusu aşağıdaki şekildedir.
-3 -2 -1 1 2 3
55 60 65 70 75 80 85
Buna göre en düşük not 55 en yüksek not 85’tir.
UYARI: Standart sapma hesaplanırken;
a) Dağılımın aritmetik ortalaması bulunur.
b) Puanlardan aritmetik ortalama çıkarılır.
c) Bu farkların kareleri alınır ve toplanır.
d) Bu toplam öğrenci sayısına bölünerek varyans bulunur.
e) Çıkan sonucun (varyansın) karekökü standart sapmayı verir.
Değişim katsayısı
Aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları farklı olan grupların değişimlerini karşılaştırmak için değişim katsayısından yararlanılır. Değişirlik katsayısı; gözlem değerlerinin ölçü birimine bağımlı olmayan değişkenlik ölçüsüdür. Yüzde cinsinden elde edilir ve ölçü birimleri farklı olan verilerin karşılaştırılmasında kullanılır.
Formülünden yararlanılır.
Ör: = 70 S = 14
= 20 S = 6 olan iki grubun değişimlerini karşılaştırınız.
D.K.= 14 / 70 .100 = 20 % 20 değişim.
D.K.= 6 / 20 . 100 = 30 % 30 değişim. 2. grup birinci gruptan daha fazla değişim gösterir.
● Aritmetik ortalama ve standart sapma arasındaki fark ne kadar büyürse heterojen yapı oluşur ve grup başarısı düşer.
● Aritmetik ortalama ve standart sapma arasındaki fark küçülürse homojen yapı oluşur ve grup başarısı artar.
● Bir puan dağılımında ranj büyüdükçe standart sapma da büyür.
● Bir testin standart sapması büyüdükçe güvenirlik artar.
● Aritmetik ortalaması eşit olan iki grup ya da sonuçtan sapması küçük olan da başarı daha yüksektir.
TEST PUANLARININ GENEL ANALİZİ;
● Ayırt edici, geçerliği ve güvenirliği yüksek bir testte elde edilen dizi genişliği, o testten elde edilebilecek en yüksek puanın yarısından fazla olmalıdır. Çünkü en yüksek puanın yarısı, testten beklenen en uygun dizi genişliğidir.
Ör: En düşük puan = 30 En yüksek puan = 90 Alınabilecek en yüksek puan = 110
Ranj = 90 – 30 = 60 110 / 2 = 55
UYARI: Yorum : 60, 55 ten büyük olduğu için test ayırt edicidir.
● Birden fazla testin ranjı verilip, “ayırt ediciliği en yüksek hangi testtir? “ diye sorulduğunda, ranjı en yüksek olanda ayırt edicilik en yüksektir. Eğer alınabilecek en yüksek puan (soru sayısı) farklıysa ranj, en yüksek puanın yarısına göre en fazla olan en ayırt edici testtir. ÖRNEK: En ayırt edici hangi derse ait testtir?
Dersler Ranj Soru sayısı
Matematik 70 120
Fizik 30 90
Biyoloji 62 80
Mat: 120 / 2 = 60 70 – 60= 10
Fizik: 90 / 2 = 45 30 – 45 = -15
Biyo.: 80 / 2 = 40 62 – 40 = 22
En ayıt edici test biyolojidir.
UYARI: Ayırt edici bir test, aritmetik ortalaması, o testten alınabilecek en yüksek puanın yarısına en yakın olan testtir.
Dersler Ortalama Soru sayısı
Matematik 50 120
Fizik 60 90
Biyoloji 68 80
Mat: 120 / 2 = 60 50 – 60= -10
Fizik: 90 / 2 = 45 60 – 45 = 15
Biyo.: 80 / 2 = 40 68 – 40 = 28
En ayırt edici test Matematiktir.
UYARI: Geçerliği ve güvenirliği yüksek bir testin ranjı, standart sapmaya bölündüğü zaman 4 – 6 arası bir sayı çıkmalıdır.
ÖR: Ranj = 60 S = 10 60 / 10 = 6 → Test güvenilirdir.
Ranj = 60 S = 6 60 / 6 = 10 → Test güvenilir değil.
Ranj = 60 S = 20 60 / 20 = 3 → Test güvenilir değil
.
STANDART PUANLAR
Farklı testlerdeki soruların güçlükleri ve o testlerden elde edilen puanların dağılımları farklıdır. Grupları karşılaştırabilmek için ham puanların ortak bir puan sistemine yani standart puanlara dönüştürülmesi gerekir. (Puanların aynı birime çevrilmesi) Standart puanlardan en çok kullanılanlar Z puanları ve T puanlarıdır.
Aritmetik ortalama ve standart sapmanın kullanıldığı bir istatistik tekniğidir.
Birden fazla testten alınmış olan puanları standart puanlara çevirerek
— Bir öğrenci birden fazla teste girmişse hangisinden daha başarılıdır?
— Hangi öğrenci diğerlerine göre daha başarılıdır?
— Öğrencilerin birkaç testten aldıkları puana göre başarı sırası nedir? sorularına cevap verilebilir.
Standart puan, gözlenen puanların ortalamadan olan farklarının standart kayma birimi cinsinden belirtilmesidir.
Z Puanları
Z puanlarının ortalaması sıfır (x = 0), standart kayması bir (S = 1,00 ) kabul edilir. Z puanlarının hesaplanmasında şu eşitlik kullanılır.
Z = Z puanı X = Herhangi bir öğrencinin puanı
X = Puanlar dağılımının ortalaması S = Dağılımın standart kayması
Z Puanının Kullanılması Örneği
Bir sınıfta üç ayrı test uygulanmıştır. Her bir testten alınabilecek toplam puan (K) ile elde edilen puanların ortalaması (X), standart kayması (S) ve üç öğrencinin bu testlerden aldıkları puanlar şöyledir. Test 1 Test 2 Test 3
Alınabilecek toplam puan (K) 70 80 100
Aritmetik ortalama 30 55 50
Standart kayma 5 10 10
Özkan’ın puanı 40 65 65
Türkan’ın puanı 30 75 70
Yusuf’un puanı 35 70 60
Buna göre;
1. Özkan, hangi testte daha başarılıdır?
Cevap: Özkan’ın hangi testten daha başarılı olduğunu bulmak için, onun her üç testten aldığı puanları Z puanına çevirmek gerekir. Özkan’ın Z puanı hangi testte daha büyükse, Özkan o testten daha başarılıdır.
Özkan 1. testte daha başarılıdır. Çünkü onun test 1’deki puanı grup ortalamasından 2 puan yukarıdadır. Bu fark test 2’de 1, test 3’te ise 1,5 standart kaymadır.
2. Her bir teste eşit ağırlık verilse ve üç testin sonuçları birlikte değerlendirilse, bu üç öğrenciden hangisi daha başarılıdır?
ÖZKAN TÜRKAN YUSUF
Toplam Z = 4,5 Toplam Z = 4 Toplam Z = 3,5
En başarılı öğrenci Özkan’dır.
UYARI: Z puanı formülüyle hesaplanan Z puanı, öğrencinin puanı grubun ortalamasından düşük olduğunda negatif çıkar. Negatif puanlarla uğraşmanın güçlüğünden kurtulmak için genellikle T puan kullanılır.
T puanları
T standart puanlarının ortalaması 50 (X = 50), standart kayması (S = 10) kabul edilir.
T puanları şu formülle hesaplanır. 
UYARI: Eğer önceden Z puanı hesaplanmışsa, Z puanlarını T puanlarına dönüştürmek daha kolaydır. Bu dönüştürme
T = 50 + 10Z şeklinde yapılır.
T Puanının Kullanılması Örneği
Özkan’ın T puanlarını hesaplayınız.
TÖ1 = 50 + ya da T = 50 + 2.10 = 70
TÖ2 = 50 + ya da T = 50 + 1.10 = 60
TÖ3 = 50 + ya da T = 50 + 1,5.10 = 65
UYARI: Ham puanlar, standart puanlara çevrildikten sonra, puanların mutlak ölçme olarak anlamları yiter. Onun için, ham puanları standart puanlara çevirdikten sonra bunlara dayanılarak yapılan değerlendirmeler, bağıl değerlendirmedir.
KORELASYON
Korelasyon; iki ya da daha fazla sayıdaki değişken arasındaki ilişkiyi gösterir. ilişkinin miktarı bir sayı ile belirtilir. Bu sayıya korelasyon katsayısı denir.
-1 0 +1
Negaif.K. Pozitif K.
Korelasyon katsayısı -1 ile +1 arasında değişen değerler alır. Aldığı değer 0 ile +1 arasındaysa pozitif korelasyon; 0 ile -1 arasındaysa negatif korelasyon denir. -1 ve +1’e yaklaştıkça ilişki artar, 0’a yaklaştıkça ilişki azalır.
Pozitif korelasyon: İki değişkenden biri artarken diğeri de artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de azalıyorsa (Doğru orantı) ilişki pozitiftir denir. 0 ile +1 arasında değişen değerler alır. ÖR: Düzenli beslenme – Sağlık, Süt içme – Boy uzunluğu, Ders çalışma – Başarı
Negatif korelasyon: İki değişkenden biri artarken diğeri azalıyorsa (Ters orantı) ilişki negatiftir. ÖR: Sigara içme – Sağlık, Tembellik – Başarı
İki değişken arasında herhangi bir ilişki yoksa korelasyon sıfırdır. (Nötr) ÖR: Resim yapma – Yakışıklı olma
Ör: Aşağıdakilerden hangisi en düşük ilişki miktarını gösterir.
a) 0,98 b) -0,29 c) 0,19 d) 0,60 e) -0,86
Korelasyon grafikleri
Yüksek P.İlişki (+1) Yüksek N.İlişki (-1) Düşük P.İlişki (0,60) Düşük N.İlişki (-0,60) Sıfır ilişki
